Кольцо многочленов

Напомним, что **кольцо** - множество $K$ с бинарными операциями $+$ и $\cdot$ со следующими свойствами для любых $a, b, c \in K$: 1. $a + b = b + a$ 2. $a + (b + c) = (a + b) + c$ 3. $\exists{0 \in K}\mathpunct{:}~~ a + 0 = a$ 4. $\exists{(-a)}\mathpunct{:}~~ a + (-a) = 0$ 5. $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ 6. $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$ 7. $(b + c) \cdot a = (b \cdot a) + (c \cdot a)$

**Кольцом многочленов** называется кольцо бесконечных строк с конечным числом ненулевых элементов в каждой строке с операциями: - Сложение: $$(a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}, 0, \dots) + (b_{0}, b_{1}, \dots, b_{m}, 0, \dots) = (a_{0} + b_{0}, a_{1} + b_{1}, \dots)$$ - Умножение: $$(a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}, 0, \dots) \cdot (b_{0}, b_{1}, \dots, b_{m}, 0, \dots) = (a_{0}b_{0}, a_{1}b_{0} + a_{0}b_{1}, \dots)$$

**Стандартным видом** многочлена называется запись вида: $$f(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \dots + a_{n}x^{n} = \sum_{k=0}^{n} a_{k}x^{k}$$ Каждое слагаемое называется **одночленом** (или мономом)

Одночлен ненулевого многочлена с наивысшей степенью $x$ называется **старшим членом** Показатель степени в старшем члене называется **степенью многочлена**. Обозначение: $\deg f$ По определению, $\deg 0 = -\infty$